Nombres premiers, décomposition, fraction irréductible

Mathématiques · 4e

La leçon

Un NOMBRE PREMIER a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les 25 nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. 1 n'est pas premier (un seul diviseur). 2 est le seul premier pair.

TESTER si un nombre inférieur à 100 est premier : on essaie de le diviser par 2, 3, 5, 7. S'il ne se divise par aucun, il est premier. (Il suffit d'aller jusqu'à 7 car 11 × 11 = 121 > 100.) 91 ? 91 = 7 × 13 → pas premier. 89 ? ni par 2, 3, 5, 7 → premier.

DÉCOMPOSER en produit de facteurs premiers : on divise par 2 tant qu'on peut, puis par 3, puis par 5, etc. 180 = 2 × 90 = 2 × 2 × 45 = 2 × 2 × 3 × 15 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5. Tout entier supérieur à 1 a une seule décomposition.

RENDRE UNE FRACTION IRRÉDUCTIBLE grâce aux décompositions : 84/120 = (2 × 2 × 3 × 7)/(2 × 2 × 2 × 3 × 5). On barre les facteurs communs (2, 2, 3) : il reste 7/10.

Exemples corrigés

1. 51 est-il un nombre premier ?

Réponse : Non

Non : 51 = 3 × 17. Il a donc au moins un diviseur autre que 1 et lui-même.

2. Décompose 140 en produit de facteurs premiers. Écris les facteurs du plus petit au plus grand, séparés par × (exemple : 2 × 2 × 3).

On divise par 2 tant que c'est possible, puis par 3, puis par 5, puis par 7 : 140 = 2 × 2 × 5 × 7.

3. Combien y a-t-il de nombres premiers entre 30 et 39 (bornes comprises) ?

Réponse : 2

Entre 30 et 39, les nombres premiers sont : 31, 37. Il y en a 2. Pour chaque nombre impair de la dizaine, on teste la division par 3, 5 et 7.

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 4e (elle fonctionne sans connexion).

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