Théorème de Pythagore et sa réciproque

Mathématiques · 4e

La leçon

Dans un triangle RECTANGLE, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'HYPOTÉNUSE. C'est le plus long des trois côtés.

THÉORÈME DE PYTHAGORE : si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Triangle ABC rectangle en A : BC² = AB² + AC². AB = 3 et AC = 4 : BC² = 9 + 16 = 25, donc BC = 5 (car 5 × 5 = 25). On cherche le nombre dont le carré vaut 25 ; en 4e on reconnaît les carrés parfaits (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169…). La racine carrée viendra en 3e.

CALCULER UN CÔTÉ DE L'ANGLE DROIT : on retourne la formule. Si BC = 13 et AB = 5 : AC² = BC² − AB² = 169 − 25 = 144, donc AC = 12.

RÉCIPROQUE : si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle (l'angle droit est opposé au plus grand côté). Côtés 6, 8, 10 : 10² = 100 et 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Égal → le triangle est rectangle. Côtés 5, 6, 8 : 8² = 64 et 5² + 6² = 61. Différent → le triangle n'est PAS rectangle.

RÉDIGER : « Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC². » Toujours nommer le triangle, l'angle droit, et le théorème.

Exemples corrigés

1. Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 15 cm et AC = 36 cm. Calcule BC.

Réponse : 39 cm

BC est l'hypoténuse (opposée à l'angle droit). D'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² = 15² + 36² = 225 + 1296 = 1521. Le nombre dont le carré vaut 1521 est 39 (39 × 39 = 1521). Donc BC = 39 cm.

2. Le triangle MNP est rectangle en N, avec MP = 10 cm (l'hypoténuse) et MN = 6 cm. Calcule NP.

Réponse : 8 cm

D'après le théorème de Pythagore : MP² = MN² + NP², donc NP² = MP² − MN² = 100 − 36 = 64. Le nombre dont le carré vaut 64 est 8. Donc NP = 8 cm.

3. Le triangle RST est rectangle en S, avec SR = 11 cm et ST = 3 cm. Calcule RT², le carré de l'hypoténuse (pas RT lui-même).

Réponse : 130 cm²

RT² = SR² + ST² = 11² + 3² = 121 + 9 = 130. 130 n'est pas un carré parfait : on sait seulement que RT est entre 11 et 12 cm. La valeur exacte attendra la 3e.

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 4e (elle fonctionne sans connexion).

Ouvrir cette notion dans le cahier de 4e

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