Symétrie centrale et translation

Mathématiques · 4e

La leçon

Une TRANSFORMATION déplace une figure sans la déformer. Deux transformations en 4e.

LA SYMÉTRIE CENTRALE de centre O : l'image M' d'un point M est le point tel que O soit le MILIEU de [MM']. C'est un demi-tour autour de O. La figure image est « retournée », à l'envers : une flèche vers le haut devient une flèche vers le bas. Dans un repère, si O est l'origine, M(x ; y) a pour image M'(−x ; −y). Si O(a ; b), alors M'(2a − x ; 2b − y) : on utilise la formule du milieu. Le centre O est son propre symétrique.

LA TRANSLATION qui transforme A en B : elle fait GLISSER toute la figure de la même façon que de A vers B (même direction, même sens, même longueur). On dit souvent « la translation de vecteur AB ». La figure image n'est ni tournée ni retournée : juste déplacée. Dans un repère, si A(1 ; 2) et B(4 ; 3), le déplacement est « +3 vers la droite, +1 vers le haut » : M(x ; y) a pour image M'(x + 3 ; y + 1). Un point M et son image M' forment avec A et B un parallélogramme ABM'M.

CE QUE CONSERVENT LES DEUX : les longueurs, les angles, les aires, le parallélisme, l'alignement. Une droite a pour image une droite PARALLÈLE (symétrie centrale et translation).

Exemples corrigés

1. Dans un repère, M(2 ; -1) et O(-1 ; 2). Quelles sont les coordonnées de M', image de M par la symétrie centrale de centre O ? Écris (x ; y).

O est le milieu de [MM'] : les coordonnées de O sont la moyenne de celles de M et M'. Donc x' = 2 × -1 − 2 = -4 et y' = 2 × 2 − (-1) = 5. M'(-4 ; 5).

2. A(2 ; 4) et B(7 ; 3). Quelles sont les coordonnées de l'image de M(-5 ; -1) par la translation qui transforme A en B ? Écris (x ; y).

De A à B, on se déplace de +5 en abscisse et de -1 en ordonnée. On applique le même glissement à M : (-5 + 5 ; -1 − 1) = (0 ; -2).

3. Quelle affirmation est vraie ?

Réponse : Par une symétrie centrale, le centre est son propre symétrique

Par une symétrie centrale, le centre est son propre symétrique. Les deux transformations conservent longueurs, angles, aires et parallélisme ; la symétrie centrale retourne la figure (demi-tour), la translation la fait seulement glisser.

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 4e (elle fonctionne sans connexion).

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