Cosinus d'un angle aigu

Mathématiques · 4e

La leçon

Dans un triangle RECTANGLE, chaque angle aigu a deux côtés qui le touchent : l'HYPOTÉNUSE (toujours) et le côté ADJACENT (celui de l'angle droit qui touche l'angle). Le troisième côté, qui ne touche pas l'angle, est le côté OPPOSÉ.

DÉFINITION : le COSINUS d'un angle aigu est le quotient cos(angle) = côté adjacent ÷ hypoténuse.

Triangle ABC rectangle en A : l'angle B a pour côté adjacent [AB] et pour hypoténuse [BC] : cos B = AB/BC. Et pour l'angle C : cos C = AC/BC.

Si AB = 3 et BC = 5 : cos B = 3/5 = 0,6.

Le cosinus ne dépend que de l'angle, pas de la taille du triangle : tous les triangles rectangles qui ont un angle de 60° ont le même cosinus pour cet angle (0,5). C'est pour cela qu'on peut le lire sur une calculatrice (touche cos).

Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1 : le côté adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse. Un résultat comme 1,2 signale une erreur (côtés inversés).

CALCULER UN CÔTÉ : la définition se retourne. côté adjacent = hypoténuse × cos(angle) hypoténuse = côté adjacent ÷ cos(angle). CALCULER UN ANGLE : à la calculatrice, avec la touche cos⁻¹ (ou arccos) : si cos B = 0,6, alors B ≈ 53°.

Pièges signalés dans la leçon

Exemples corrigés

1. Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm. Donne cos B sous la forme d'une fraction irréductible (ou d'un nombre décimal).

Pour l'angle B : côté adjacent [AB] (côté de l'angle droit qui touche B), hypoténuse [BC]. cos B = AB/BC = 3/5 = 0,6.

2. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 80 cm et le cosinus d'un angle aigu vaut 0,6. Quelle est la longueur du côté adjacent à cet angle ?

Réponse : 48 cm

cos = adjacent ÷ hypoténuse, donc adjacent = hypoténuse × cos = 80 × 0,6 = 48 cm.

3. Le triangle ABC est rectangle en A. Quelle est l'expression de cos C ?

Réponse : AC/BC

L'hypoténuse est [BC] (opposée à l'angle droit en A). Le côté adjacent à l'angle C est le côté de l'angle droit qui touche C : [AC]. Donc cos C = AC/BC = AC/BC.

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 4e (elle fonctionne sans connexion).

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