Théorème de Thalès (triangles emboîtés) et réciproque

Mathématiques · 4e

La leçon

CONFIGURATION : dans un triangle ABC, M est un point de [AB] et N un point de [AC]. Le petit triangle AMN est « emboîté » dans le grand triangle ABC : ils ont le sommet A en commun.

THÉORÈME DE THALÈS : si (MN) est PARALLÈLE à (BC), alors les longueurs sont proportionnelles : AM/AB = AN/AC = MN/BC. Le petit triangle est une réduction du grand, avec le même coefficient sur les trois côtés.

CALCULER UNE LONGUEUR : on écrit les trois quotients, on garde ceux qui servent, on fait un produit en croix. AM = 3, AB = 5, AC = 10 : AM/AB = AN/AC donne 3/5 = AN/10, donc AN = 3 × 10 ÷ 5 = 6.

RÉCIPROQUE : si M est sur [AB], N sur [AC], et si AM/AB = AN/AC, alors (MN) est parallèle à (BC). Pour prouver que deux droites sont parallèles, on compare donc deux quotients. S'ils sont différents, les droites ne sont pas parallèles (c'est la CONTRAPOSÉE du théorème). AM = 3, AB = 5, AN = 6, AC = 10 : 3/5 = 0,6 et 6/10 = 0,6 → égaux → (MN) // (BC). AM = 3, AB = 5, AN = 7, AC = 10 : 0,6 et 0,7 → différents → pas parallèles.

RÉDIGER : « M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC). D'après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC. » Puis les valeurs.

Exemples corrigés

1. Dans le triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC). On a AM = 24 cm, AB = 42 cm et AC = 35 cm. Calcule AN.

Réponse : 20 cm

D'après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC, soit 24/42 = AN/35. Produit en croix : AN = 24 × 35 ÷ 42 = 20 cm. (Le coefficient de réduction est 4/7.)

2. Dans le triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC). On a AM = 2 cm, AB = 6 cm et BC = 3 cm. Calcule MN.

Réponse : 1 cm

D'après le théorème de Thalès : AM/AB = MN/BC, soit 2/6 = MN/3. Donc MN = 2 × 3 ÷ 6 = 1 cm.

3. Dans le triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC], avec AM = 2, AB = 4, AN = 6 et AC = 12. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

Réponse : Oui

On compare AM/AB = 2/4 = 0,5 et AN/AC = 6/12 = 0,5. Les quotients sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) // (BC).

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 4e (elle fonctionne sans connexion).

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