Triangles : angles, inégalité triangulaire, cas d'égalité

Mathématiques · 4e

La leçon

SOMME DES ANGLES : dans tout triangle, les trois angles font 180°. Deux angles de 50° et 70° → le troisième mesure 180 − 50 − 70 = 60°. Triangle isocèle : les deux angles à la base sont égaux. Si l'angle au sommet vaut 40°, chaque angle à la base vaut (180 − 40) ÷ 2 = 70°. Triangle équilatéral : trois angles de 60°.

INÉGALITÉ TRIANGULAIRE : on ne peut construire un triangle que si le plus grand côté est PLUS PETIT que la somme des deux autres. Côtés 3, 4, 8 ? 8 > 3 + 4 : impossible, les deux petits côtés ne se rejoignent pas. Côtés 3, 5, 8 ? 8 = 3 + 5 : le « triangle » est plat, aligné. On ne compte pas ça comme un triangle. Côtés 4, 5, 8 ? 8 < 4 + 5 : possible.

ANGLES ET DROITES PARALLÈLES : quand une droite coupe deux droites PARALLÈLES, les angles ALTERNES-INTERNES sont égaux, et les angles CORRESPONDANTS sont égaux. Réciproquement, si deux angles alternes-internes sont égaux, les droites sont parallèles. Deux angles qui se suivent le long d'une droite (adjacents) font ensemble 180° : ils sont SUPPLÉMENTAIRES.

CAS D'ÉGALITÉ DES TRIANGLES : deux triangles sont superposables (égaux) si on connaît : 1. leurs trois côtés ; 2. deux côtés et l'angle compris entre eux ; 3. un côté et les deux angles qui lui sont adjacents. Ce sont exactement les trois façons de construire un triangle unique à la règle, au compas et au rapporteur.

Exemples corrigés

1. Dans un triangle, deux angles mesurent 50° et 31°. Que mesure le troisième ?

Réponse : 99 °

Les trois angles d'un triangle font 180°. Troisième angle : 180 − 50 − 31 = 99°.

2. Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent 5 cm, 7 cm et 12 cm ?

Réponse : Non

Non : 12 = 5 + 7. Les trois points seraient alignés, le triangle serait plat. On ne considère pas ça comme un triangle.

3. Dans quel cas est-on SÛR que deux triangles sont égaux (superposables) ?

Réponse : Leurs trois côtés sont égaux deux à deux

Leurs trois côtés sont égaux deux à deux : c'est l'un des trois cas d'égalité. Trois angles égaux ne suffisent pas (deux triangles de tailles différentes peuvent avoir les mêmes angles) ; un même périmètre non plus.

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 4e (elle fonctionne sans connexion).

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