Espace : pavé droit, cylindre, repérage

Mathématiques · 4e

La leçon

LE PAVÉ DROIT (ou parallélépipède rectangle) a 6 faces rectangulaires, 12 arêtes et 8 sommets. Le cube est un pavé droit dont toutes les arêtes ont la même longueur.

LE CYLINDRE DE RÉVOLUTION a deux bases : deux disques identiques et parallèles, et une surface courbe. Son PATRON est formé de deux disques et d'un rectangle, dont la longueur est égale au périmètre du disque (2 × π × rayon) et la largeur à la hauteur du cylindre.

LA PERSPECTIVE CAVALIÈRE est la façon de dessiner un solide sur une feuille : • la face de devant est dessinée en vraie grandeur ; • les arêtes parallèles dans l'espace restent parallèles sur le dessin ; • les arêtes « en profondeur » sont dessinées obliques et raccourcies ; • les arêtes cachées sont en pointillés ; • les angles droits ne paraissent plus droits et les longueurs en profondeur ne sont plus exactes.

SE REPÉRER DANS UN PAVÉ DROIT : on choisit un sommet comme origine et trois arêtes comme axes. Chaque sommet a alors trois coordonnées (x ; y ; z) : la longueur, la largeur et la hauteur à parcourir depuis l'origine. Pavé ABCDEFGH, origine A, avec AB = 5, AD = 3, AE = 2 : A(0 ; 0 ; 0), B(5 ; 0 ; 0), D(0 ; 3 ; 0), E(0 ; 0 ; 2), et le sommet G opposé à A est en (5 ; 3 ; 2).

Exemples corrigés

1. Combien un pavé droit a-t-il de faces ?

Réponse : 6

Un pavé droit a 6 faces (comme une boîte à chaussures : dessus, dessous, et quatre côtés), 12 arêtes et 8 sommets (les coins). Ici : 6 faces.

2. Pavé droit ABCDEFGH, repéré depuis l'origine A : B(9 ; 0 ; 0), D(0 ; 4 ; 0), E(0 ; 0 ; 3). Quelles sont les coordonnées de H, au-dessus de D ? Écris-les sous la forme (x ; y ; z).

Depuis A, on avance de 0 le long de [AB] (longueur), de 4 le long de [AD] (largeur), et on monte de 3 le long de [AE] (hauteur) : (0 ; 4 ; 3).

3. Un cylindre a un rayon de 8 cm et une hauteur de 7 cm. Dans son patron, quelle est la longueur du rectangle ? Prends π ≈ 3,14.

Réponse : 50,24 cm

La longueur du rectangle s'enroule autour du disque : c'est le périmètre du disque, 2 × π × 8 ≈ 2 × 3,14 × 8 = 50,24 cm. La largeur du rectangle est la hauteur, 7 cm.

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 4e (elle fonctionne sans connexion).

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