Volumes : pyramide, cône, boule

Mathématiques · 3e

La leçon

LES FORMULES DE 3e — trois solides nouveaux : PYRAMIDE : V = (aire de la base × hauteur) ÷ 3 CÔNE DE RÉVOLUTION : V = (π × r² × h) ÷ 3 (la base est un disque de rayon r) BOULE : V = (4 × π × r³) ÷ 3

LE TIERS — une pyramide a le tiers du volume du prisme de même base et de même hauteur ; un cône a le tiers du volume du cylindre de même base et de même hauteur. On peut le vérifier en transvasant de l'eau : il faut trois cônes pour remplir le cylindre.

RAPPELS UTILES — prisme droit et cylindre : V = aire de la base × hauteur. Pavé droit : L × l × h. Cube : c³.

LA HAUTEUR — c'est la distance du sommet au plan de la base, mesurée perpendiculairement. Dans une pyramide penchée, ce n'est pas la longueur d'une arête.

VALEUR EXACTE, VALEUR APPROCHÉE — tant que π est dans le calcul, on garde la valeur exacte : V = 75π cm³. On n'arrondit qu'à la fin, si l'énoncé le demande : 75π ≈ 235,6 cm³. Le signe ≈ remplace alors le signe =.

UNITÉS — un volume en cm³ si les longueurs sont en cm. 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³ ; 1 m³ = 1 000 L.

MÉTHODE — 1. identifier le solide ; 2. écrire la formule en lettres ; 3. remplacer ; 4. calculer ; 5. écrire l'unité.

Exemples corrigés

1. Une pyramide a pour base un rectangle de 5 cm sur 5 cm et pour hauteur 18 cm. Calcule son volume.

Réponse : 150 cm³

V = (aire de la base × hauteur) ÷ 3 = (5 × 5 × 18) ÷ 3 = 450 ÷ 3 = 150 cm³. Sans le « ÷ 3 », on aurait le volume du pavé droit de même base.

2. Une boule a un rayon de 9 cm. Son volume exact s'écrit V = k × π cm³. Quelle est la valeur de k ?

Réponse : 972

V = (4 × π × r³) ÷ 3 = (4 × π × 729) ÷ 3 = 2916π ÷ 3 = 972π cm³. Attention : r³, pas r² — un volume fait intervenir trois dimensions.

3. Un cylindre et un cône ont la même base (rayon 3 cm) et la même hauteur (3 cm). Le volume du cylindre vaut 84,8 cm³. Quel est le volume du cône, arrondi au dixième ?

Réponse : 28,3 cm³

Le cône occupe le tiers du cylindre de même base et de même hauteur : 84,8 ÷ 3 ≈ 28,3 cm³. Inutile de refaire le calcul avec π : la relation « un tiers » suffit.

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 3e (elle fonctionne sans connexion).

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