Racine carrée

Mathématiques · 3e

La leçon

DÉFINITION — la racine carrée d'un nombre positif a, notée √a, est le nombre POSITIF dont le carré vaut a. √25 = 5 parce que 5² = 25. √1,44 = 1,2 parce que 1,2² = 1,44. √0 = 0. Un nombre négatif n'a pas de racine carrée : aucun carré n'est négatif.

OÙ ELLE VIENT — un carré d'aire 49 cm² a un côté de √49 = 7 cm. La racine carrée est la longueur du côté quand on connaît l'aire. Avec le théorème de Pythagore, on l'utilise sans cesse : si BC² = 9 + 16 = 25, alors BC = √25 = 5.

CARRÉS PARFAITS À CONNAÎTRE — 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Leurs racines sont les entiers de 1 à 12. Tous les autres entiers ont une racine qui n'est pas un nombre décimal : √2 ≈ 1,414…, √10 ≈ 3,162…

ENCADRER — pour situer √50 : 49 < 50 < 64, donc 7 < √50 < 8. On encadre entre deux carrés parfaits consécutifs.

CALCULATRICE — la touche √ donne une valeur approchée. On écrit alors ≈, jamais =, sauf pour un carré parfait.

CE QU'ON N'ATTEND PAS EN 3e — aucune règle de calcul sur les racines (comme √a × √b) n'est au programme. On s'en tient à la définition, aux carrés parfaits et à la calculatrice.

Pièges signalés dans la leçon

Exemples corrigés

1. Calcule : √4

Réponse : 2

On cherche le nombre positif dont le carré vaut 4 : 2 × 2 = 4, donc √4 = 2.

2. Sans calculatrice, entre quels entiers consécutifs se trouve √108 ?

Réponse : entre 10 et 11

100 < 108 < 121, c'est-à-dire 10² < 108 < 11². Donc 10 < √108 < 11. On encadre toujours entre deux carrés parfaits.

3. Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calcule la longueur BC.

Réponse : 5 cm

Théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² = 9 + 16 = 25. Donc BC = √25 = 5 cm.

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 3e (elle fonctionne sans connexion).

Ouvrir cette notion dans le cahier de 3e

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