Espace : repérage sur la sphère, sections de solides, patrons

Mathématiques · 3e

La leçon

SE REPÉRER SUR LA SPHÈRE TERRESTRE — deux nombres suffisent, comme les coordonnées d'un point du plan : la LATITUDE : angle entre 0° et 90°, Nord ou Sud, mesuré à partir de l'équateur. Les cercles de même latitude sont les PARALLÈLES. la LONGITUDE : angle entre 0° et 180°, Est ou Ouest, mesuré à partir du méridien de Greenwich. Les demi-cercles de même longitude sont les MÉRIDIENS. Paris : environ 49° N, 2° E. Un point de latitude Sud est dans l'hémisphère Sud ; un point de longitude Ouest est à l'ouest de Greenwich.

SECTIONS PLANES — couper un solide par un plan produit une figure plane, la SECTION : pavé droit ou cube, plan parallèle à une face → rectangle (carré pour le cube) identique à cette face ; cylindre, plan perpendiculaire à l'axe → disque identique à la base ; plan parallèle à l'axe → rectangle ; boule, par n'importe quel plan → disque, le plus grand quand le plan passe par le centre ; pyramide ou cône, plan parallèle à la base → réduction de la base (même forme, plus petite). Pour la boule : si le plan est à la distance d du centre et que le rayon de la boule est R, le rayon r de la section vérifie r² + d² = R² (Pythagore).

PATRONS ET PERSPECTIVE CAVALIÈRE — un PATRON est le solide déplié à plat : pour une pyramide, la base et autant de triangles que la base a de côtés ; pour un cône, un disque et un secteur de disque. En PERSPECTIVE CAVALIÈRE, les arêtes cachées sont en pointillés, les faces de devant sont en vraie grandeur, les fuyantes sont raccourcies et obliques.

COMPTER — une pyramide à base à n côtés a n + 1 faces, n + 1 sommets et 2n arêtes.

Exemples corrigés

1. Un point a pour coordonnées 53° N, 44° O. Où se situe-t-il ?

Réponse : dans l'hémisphère Nord, à l'ouest du méridien de Greenwich

La latitude 53° Nord place le point dans l'hémisphère Nord ; la longitude 44° Ouest le place à l'ouest du méridien de Greenwich.

2. Une boule a un rayon de 5 cm. On la coupe par un plan situé à 3 cm de son centre. Quel est le rayon du disque obtenu ?

Réponse : 4 cm

Le rayon R de la boule, la distance d du centre au plan et le rayon r de la section forment un triangle rectangle : r² = R² − d² = 25 − 9 = 16, donc r = √16 = 4 cm.

3. Une pyramide a pour base un polygone à 3 côtés. Combien a-t-elle de sommets ?

Réponse : 4

Base à 3 côtés : 3 faces latérales triangulaires (une par côté), 3 + 1 = 4 faces en tout, 3 + 1 = 4 sommets (ceux de la base plus le sommet principal), 2 × 3 = 6 arêtes (3 pour la base, 3 latérales).

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 3e (elle fonctionne sans connexion).

Ouvrir cette notion dans le cahier de 3e

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