Puissances de base quelconque

Mathématiques · 3e

La leçon

DÉFINITION — pour un nombre a et un entier n ≥ 1 : aⁿ = a × a × … × a (n facteurs). 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8. (−2)⁴ = 16. Par convention a¹ = a et a⁰ = 1 (pour a non nul).

EXPOSANT NÉGATIF — a⁻ⁿ = 1/aⁿ. 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. 10⁻² = 1/100 = 0,01. Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il le rend petit.

SIGNE — une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est pair, négative s'il est impair. Attention à la parenthèse : (−2)⁴ = 16 mais −2⁴ = −16 (c'est l'opposé de 2⁴).

RÈGLES DE CALCUL (même base a) : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ 2³ × 2⁵ = 2⁸ (on ajoute les exposants, on ne les multiplie pas) aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ 5⁷ ÷ 5⁵ = 5² = 25 (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ (3²)⁴ = 3⁸ (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ (2 × 5)³ = 2³ × 5³

ÉCRITURE SCIENTIFIQUE — un nombre s'écrit m × 10ⁿ avec 1 ≤ m < 10 et n entier relatif. 340 000 = 3,4 × 10⁵. 0,00052 = 5,2 × 10⁻⁴. Elle sert à comparer des nombres très grands ou très petits d'un coup d'œil : on compare d'abord les exposants.

Pièges signalés dans la leçon

Exemples corrigés

1. Calcule : 4³

Réponse : 64

4³ = 4 × 4 × 4 = 64. L'exposant dit combien de fois la base est facteur.

2. Écris 3⁶ × 3⁵ sous la forme d'une seule puissance.

Réponse : 3¹¹

Même base : on AJOUTE les exposants. 3⁶ × 3⁵ = 3¹¹. En effet, 6 facteurs 3 suivis de 5 facteurs 3 font 11 facteurs 3.

3. Quelle est l'écriture scientifique de 260 000 000 ?

Réponse : 2,6 × 10⁸

L'écriture scientifique impose un nombre entre 1 et 10 (exclu) devant la puissance de 10 : ici 2,6. La virgule s'est déplacée de 8 rang(s) vers la gauche, donc l'exposant est positif : 10⁸. Les autres écritures sont soit fausses, soit justes mais pas scientifiques.

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 3e (elle fonctionne sans connexion).

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