Fonctions, fonctions linéaires et affines

Mathématiques · 3e

La leçon

UNE FONCTION — un procédé qui, à un nombre x, associe UN SEUL nombre, noté f(x) et appelé IMAGE de x par f. f(x) = 2x − 5 : l'image de 4 est f(4) = 2 × 4 − 5 = 3. On lit « f de 4 égale 3 ». Dans l'autre sens, 4 est UN ANTÉCÉDENT de 3. Un nombre a une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun).

NOTATIONS — f : x ↦ 2x − 5 se lit « f associe à x le nombre 2x − 5 ». f(x) n'est pas « f fois x » : les parenthèses ne sont pas une multiplication.

TROIS FAÇONS DE DONNER UNE FONCTION — une formule, un tableau de valeurs, une courbe. Sur la courbe, l'image se lit en ordonnée, l'antécédent en abscisse.

FONCTION LINÉAIRE — f(x) = ax. C'est la traduction d'une situation de PROPORTIONNALITÉ : a est le coefficient de proportionnalité. Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine. Prix de x kg de pommes à 3 € le kilo : f(x) = 3x.

FONCTION AFFINE — f(x) = ax + b. Sa représentation est une droite qui coupe l'axe des ordonnées en b (ORDONNÉE À L'ORIGINE). Le nombre a est le COEFFICIENT DIRECTEUR : quand x augmente de 1, f(x) augmente de a (ou diminue si a est négatif). Abonnement de 15 € plus 2 € par séance : g(x) = 2x + 15. Ce n'est pas une proportionnalité : g(0) = 15, pas 0. Une fonction linéaire est une fonction affine particulière (b = 0). Une fonction constante aussi (a = 0).

TROUVER a À PARTIR DE DEUX VALEURS — a = (f(x₂) − f(x₁)) ÷ (x₂ − x₁). Si f(2) = 7 et f(5) = 16, alors a = (16 − 7) ÷ (5 − 2) = 3.

RÉSOUDRE f(x) = k — chercher l'antécédent de k : 2x − 5 = 11 donne 2x = 16, donc x = 8.

Exemples corrigés

1. Soit f la fonction définie par f(x) = −5x + 9. Calcule l'image de -6 par f.

Réponse : 39

On remplace x par -6 : f(-6) = -5 × (-6) + 9 = 30 + 9 = 39. L'image de -6 est 39.

2. Parmi ces fonctions, laquelle est LINÉAIRE ?

Réponse : f(x) = 2x

Une fonction linéaire s'écrit f(x) = a·x, sans terme ajouté : c'est f(x) = 2x (proportionnalité, droite passant par l'origine). g(x) = 2x + 5 est affine mais pas linéaire à cause du + 5 ; h(x) = x² n'est ni l'une ni l'autre ; k(x) = 4 est constante.

3. On achète des stylos à 4 euros l'unité. On note x le nombre de stylos et f(x) le prix payé (en euros). Quelle est l'expression de f ?

Réponse : f(x) = 4x

C'est une situation de proportionnalité : le prix payé (en euros) s'obtient en multipliant x par 4. Donc f(x) = 4x, fonction linéaire de coefficient 4. La formule x + 4 ne doublerait pas quand x double.

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 3e (elle fonctionne sans connexion).

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