Trigonométrie : sinus, cosinus, tangente

Mathématiques · 3e

La leçon

DANS UN TRIANGLE RECTANGLE — on nomme les côtés par rapport à l'un des angles aigus. Pour l'angle B du triangle ABC rectangle en A : l'HYPOTÉNUSE est [BC], toujours le plus grand côté, en face de l'angle droit ; le côté OPPOSÉ à B est [AC], celui qui ne touche pas B ; le côté ADJACENT à B est [AB], celui qui touche B sans être l'hypoténuse.

LES TROIS RAPPORTS : cos B = adjacent / hypoténuse = AB / BC sin B = opposé / hypoténuse = AC / BC tan B = opposé / adjacent = AC / AB Moyen mnémotechnique : CAH SOH TOA (Cosinus-Adjacent-Hypoténuse, Sinus-Opposé-Hypoténuse, Tangente-Opposé-Adjacent). Le cosinus était connu depuis la 4e ; le sinus et la tangente sont nouveaux en 3e.

CE QUE DISENT CES NOMBRES — cos et sin sont toujours entre 0 et 1 (un côté de l'angle droit est plus court que l'hypoténuse). tan peut dépasser 1. Ils ne dépendent que de l'angle, pas de la taille du triangle : c'est pour cela qu'une calculatrice peut les donner.

CALCULER UNE LONGUEUR — on écrit le rapport qui contient la longueur connue et la longueur cherchée, puis on isole l'inconnue. BC = 10 cm, angle B = 35°. AC ? sin 35° = AC/10, donc AC = 10 × sin 35° ≈ 5,7 cm.

CALCULER UN ANGLE — on calcule le rapport, puis on utilise les touches cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ (notées aussi arccos, arcsin, arctan). AB = 4, AC = 3. tan B = 3/4 = 0,75, donc B = tan⁻¹(0,75) ≈ 36,9°.

PIÈGES — la calculatrice doit être en mode DEGRÉS. Et on n'arrondit qu'à la toute fin.

Pièges signalés dans la leçon

Exemples corrigés

1. Le triangle ABC est rectangle en A. BC = 18 cm et l'angle ABC mesure 44°. Calcule AC, arrondi au dixième.

Réponse : 12,5 cm

[AC] est le côté opposé à l'angle B, [BC] l'hypoténuse : on utilise le sinus. sin 44° = AC/18, donc AC = 18 × sin 44° ≈ 12,5 cm.

2. Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 10 cm et AC = 11 cm. Calcule la mesure de l'angle ABC, arrondie au degré.

Réponse : 48 °

On connaît l'opposé (AC) et l'adjacent (AB) à l'angle B : tangente. tan B = 11/10 = 1,1. Puis B = tan⁻¹(1,1) ≈ 48°.

3. Le triangle ABC est rectangle en A. AC = 4 cm et l'angle ABC mesure 55°. Calcule l'hypoténuse BC, arrondie au dixième.

Réponse : 4,9 cm

sin B = AC/BC, donc BC = AC/sin B = 4/sin 55° ≈ 4,9 cm. On divise par le sinus quand c'est l'hypoténuse qu'on cherche ; vérifie que BC est bien plus grand que AC.

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 3e (elle fonctionne sans connexion).

Ouvrir cette notion dans le cahier de 3e

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