Théorème de Thalès (configuration papillon) et triangles semblables

Mathématiques · 3e

La leçon

LE THÉORÈME DE THALÈS — soit deux droites (BM) et (CN) sécantes en A. Si (MN) est parallèle à (BC), alors : AM/AB = AN/AC = MN/BC. Les longueurs du petit triangle AMN sont proportionnelles à celles du grand triangle ABC.

DEUX CONFIGURATIONS : TRIANGLE (vue en 4e) : M est sur [AB] et N sur [AC], le petit triangle est à l'intérieur du grand. PAPILLON (nouveau en 3e) : M est sur la demi-droite [BA) au-delà de A, N au-delà de A sur [CA). Les deux triangles se touchent par leur sommet A, comme les ailes d'un papillon. Les mêmes égalités de rapports restent vraies.

MÉTHODE — 1. nommer les deux droites sécantes et leur point d'intersection ; 2. vérifier le parallélisme ; 3. écrire les trois rapports en partant toujours du point A ; 4. remplacer les longueurs connues ; 5. faire un produit en croix. AB = 6, AM = 4, AC = 9 : AM/AB = AN/AC donne 4/6 = AN/9, donc AN = 4 × 9 / 6 = 6.

LA RÉCIPROQUE — si AM/AB = AN/AC ET si les points sont dans le même ordre sur les deux droites, alors (MN) ∥ (BC). Elle sert à PROUVER un parallélisme. Si les rapports diffèrent, les droites ne sont pas parallèles.

TRIANGLES SEMBLABLES — deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux deux à deux. Il suffit de deux angles égaux : le troisième l'est automatiquement (somme 180°). Les côtés homologues sont alors proportionnels : l'un est un agrandissement ou une réduction de l'autre, de rapport k. Dans une configuration de Thalès, les triangles AMN et ABC sont semblables.

Exemples corrigés

1. Dans le triangle ABC, M est un point de [AB] et N un point de [AC] tels que (MN) ∥ (BC). AB = 12 cm, AM = 4 cm, AC = 3 cm. Calcule AN.

Réponse : 1 cm

Thalès : AM/AB = AN/AC, soit 4/12 = AN/3. Produit en croix : AN = 4 × 3 ÷ 12 = 1 cm. Le rapport de réduction est 1/3.

2. Dans le triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) ∥ (BC). AB = 2 cm, AM = 1 cm, BC = 6 cm. Calcule MN.

Réponse : 3 cm

Thalès donne aussi le rapport des côtés parallèles : MN/BC = AM/AB, soit MN/6 = 1/2. Donc MN = 6 × 1 ÷ 2 = 3 cm.

3. Le triangle ABC a pour côtés AB = 5 cm, BC = 8 cm et AC = 10 cm. Le triangle DEF lui est semblable, et son plus petit côté mesure 15 cm. Quelle est la longueur de son plus grand côté ?

Réponse : 30 cm

Deux triangles semblables ont des côtés proportionnels. Le rapport est 15 ÷ 5 = 3. Le plus grand côté de DEF mesure donc 10 × 3 = 30 cm.

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 3e (elle fonctionne sans connexion).

Ouvrir cette notion dans le cahier de 3e

Dans la même matière