Rotation et homothétie

Mathématiques · 3e

La leçon

LES TRANSFORMATIONS CONNUES — symétrie axiale (6e), symétrie centrale (5e), translation (4e). Elles conservent les longueurs, les angles, les aires. En 3e, deux nouvelles.

ROTATION — définie par un CENTRE, un ANGLE et un SENS (horaire ou anti-horaire). Chaque point tourne autour du centre de cet angle, en restant à la même distance du centre. La rotation conserve les longueurs, les angles, les aires : la figure image est superposable à la figure de départ. La symétrie centrale est une rotation de 180°. Deux rotations de même centre, d'angles a et b, s'enchaînent en une rotation d'angle a + b.

HOMOTHÉTIE — définie par un CENTRE O et un RAPPORT k (un nombre non nul). L'image M' d'un point M est sur la droite (OM), avec OM' = |k| × OM. Si k > 0 : M' est du même côté que M par rapport à O. Si k < 0 : M' est de l'autre côté de O (la figure est retournée). Si |k| > 1 : agrandissement. Si |k| < 1 : réduction. k = −1 : symétrie centrale de centre O.

CE QUE FAIT L'HOMOTHÉTIE AUX GRANDEURS — longueurs multipliées par |k|, aires par k², angles conservés, parallélisme conservé. Les droites et leurs images sont parallèles. Rapport −2 : un segment de 3 cm devient un segment de 6 cm, retourné ; une aire de 5 cm² devient 20 cm².

LIEN AVEC THALÈS — dans une configuration de Thalès, le triangle AMN est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre A et de rapport AM/AB (négatif dans le papillon).

ENCHAÎNER — on peut appliquer une transformation après une autre. L'image par l'enchaînement d'une translation puis d'une rotation reste superposable à la figure de départ ; dès qu'une homothétie de rapport différent de 1 ou −1 intervient, les tailles changent.

Exemples corrigés

1. Par l'homothétie de centre O et de rapport -1,5, un segment de 12 cm a pour image un segment de quelle longueur ?

Réponse : 18 cm

Les longueurs sont multipliées par |k| = 1,5 : 12 × 1,5 = 18 cm. Le signe négatif retourne la figure de l'autre côté du centre, il ne change pas la longueur.

2. Un segment de 2 cm subit une rotation de centre O et d'angle 45°. Quelle est la longueur du segment image ?

Réponse : 2 cm

Une rotation conserve les longueurs, quel que soit son angle : l'image mesure 2 cm. Seule l'homothétie change les longueurs.

3. On applique à une figure une rotation de centre O et d'angle 45°, puis une seconde rotation de même centre et de même sens, d'angle 120°. Quel est l'angle (entre 0 et 359°) de la rotation unique qui donne le même résultat ?

Réponse : 165 °

Deux rotations de même centre s'enchaînent en additionnant les angles : 45 + 120 = 165°.

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 3e (elle fonctionne sans connexion).

Ouvrir cette notion dans le cahier de 3e

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