Factoriser, équations produits, x² = a

Mathématiques · 3e

La leçon

FACTORISER — transformer une somme en produit. C'est l'opération inverse de développer.

AVEC UN FACTEUR COMMUN — ka + kb = k(a + b). 6x + 15 = 3(2x + 5). x² − 4x = x(x − 4). (2x + 1)(x − 3) + (2x + 1)(5x + 2) = (2x + 1)(6x − 1). Méthode : repérer le facteur présent dans chaque terme, l'écrire devant, mettre le reste entre parenthèses. Vérifier en redéveloppant.

AVEC L'IDENTITÉ a² − b² = (a − b)(a + b) — dès qu'on voit une DIFFÉRENCE de deux carrés : x² − 49 = (x − 7)(x + 7). 4x² − 9 = (2x)² − 3² = (2x − 3)(2x + 3). x² − 5 ne se factorise pas en 3e (5 n'est pas un carré parfait).

À QUOI ÇA SERT — à résoudre des équations. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : (x − 3)(x + 5) = 0 ⟺ x − 3 = 0 ou x + 5 = 0 ⟺ x = 3 ou x = −5. Deux solutions : 3 et −5. C'est une ÉQUATION PRODUIT. (2x − 6)(x + 1) = 0 ⟺ 2x = 6 ou x = −1 ⟺ x = 3 ou x = −1.

L'ÉQUATION x² = a : si a > 0, deux solutions : √a et −√a. x² = 49 ⟺ x = 7 ou x = −7. si a = 0, une seule solution : 0. si a < 0, aucune solution : un carré n'est jamais négatif.

PIÈGE — « x² = 49 donc x = 7 » oublie la moitié des solutions. (−7)² vaut aussi 49.

Pièges signalés dans la leçon

Exemples corrigés

1. Factorise : 2x + 12

Réponse : 2(x + 6)

Le facteur commun est 2 : 2x = 2 × x et 12 = 2 × 6. Donc 2x + 12 = 2(x + 6). Vérification en développant : 2 × x + 2 × 6 = 2x + 12.

2. Résous (x − 6)(x + 7) = 0. Quelle est la somme des deux solutions ?

Réponse : -1

Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : x − 6 = 0 donne x = 6 ; x + 7 = 0 donne x = −7. Les solutions sont 6 et −7, de somme -1.

3. Résous x² = 36. Quelle est la solution positive ?

Réponse : 6

x² = 36 a deux solutions : √36 = 6 et −6. La solution positive est 6. N'oublie jamais la solution négative dans une rédaction complète.

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 3e (elle fonctionne sans connexion).

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