Développer : double distributivité et identités remarquables

Mathématiques · 3e

La leçon

DÉVELOPPER — transformer un produit en somme. Simple distributivité : k(a + b) = ka + kb. Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : quatre produits. (x + 3)(x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15. (2x − 1)(x + 4) = 2x² + 8x − x − 4 = 2x² + 7x − 4.

RÉDUIRE — regrouper les termes de même nature : les x² ensemble, les x ensemble, les nombres ensemble.

LES TROIS IDENTITÉS REMARQUABLES — des cas de double distributivité qui reviennent si souvent qu'on les apprend par cœur : (a + b)² = a² + 2ab + b² (x + 3)² = x² + 6x + 9 (a − b)² = a² − 2ab + b² (x − 5)² = x² − 10x + 25 (a + b)(a − b) = a² − b² (x + 7)(x − 7) = x² − 49

PIÈGE N°1 — (a + b)² n'est PAS a² + b². Le double produit 2ab ne doit jamais disparaître. Vérifie avec des nombres : (2 + 3)² = 25, alors que 2² + 3² = 13.

CALCUL MENTAL — les identités servent aussi avec des nombres : 103² = (100 + 3)² = 10 000 + 600 + 9 = 10 609 ; 98 × 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 10 000 − 4 = 9 996.

MÉTHODE DE VÉRIFICATION — remplace x par une valeur simple (x = 1 ou x = 2) dans l'expression de départ et dans ton résultat : si les deux nombres diffèrent, il y a une erreur.

Pièges signalés dans la leçon

Exemples corrigés

1. Développe et réduis : (x − 6)(x − 7)

Réponse : x² − 13x + 42

Quatre produits : x × x = x², x × (-7) = −7x, (-6) × x = −6x, (-6) × (-7) = 42. On réduit : x² − 13x + 42.

2. Développe : (x − 8)²

Réponse : x² − 16x + 64

Identité (a − b)² = a² − 2ab + b² avec a = x et b = 8 : x² − 2 × 8 × x + 8² = x² − 16x + 64. Le double produit −16x est indispensable.

3. Calcule de tête, avec une identité remarquable : 99²

Réponse : 9801

(100 − 1)² = 100² − 2 × 100 × 1 + 1² = 10 000 − 200 + 1 = 9801. L'identité remplace une multiplication posée par trois nombres faciles.

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 3e (elle fonctionne sans connexion).

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