Agrandissement, réduction, conversions

Mathématiques · 3e

La leçon

AGRANDIR OU RÉDUIRE UNE FIGURE DE RAPPORT k — toutes les longueurs sont multipliées par k, les angles ne changent pas. k > 1 : agrandissement. 0 < k < 1 : réduction.

EFFET SUR LES AIRES ET LES VOLUMES — c'est le point clé de 3e : les LONGUEURS sont multipliées par k ; les AIRES sont multipliées par k² ; les VOLUMES sont multipliés par k³. Un carré de côté 2 cm (aire 4 cm²) agrandi de rapport 3 devient un carré de côté 6 cm : aire 36 cm², soit 4 × 9. L'aire a été multipliée par 3² = 9. Un cube d'arête 1 cm agrandi de rapport 2 a un volume de 8 cm³ : multiplié par 2³ = 8.

DANS L'AUTRE SENS — si l'aire a été multipliée par 25, les longueurs l'ont été par √25 = 5. Si le volume a été multiplié par 27, les longueurs par 3 (car 3³ = 27).

ÉCHELLE — un plan à l'échelle 1/200 est une réduction de rapport 1/200 : 1 cm sur le plan représente 200 cm (2 m) en réalité.

CONVERSIONS AVEC LES PUISSANCES DE 10 — chaque unité de longueur vaut 10 fois la suivante ; pour les aires c'est 100 (10²), pour les volumes 1 000 (10³). 1 km = 10³ m. 1 m² = 10⁴ cm². 1 m³ = 10⁶ cm³ = 10³ L. 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³. Pour convertir, on multiplie ou on divise par la bonne puissance de 10 : 3,5 km = 3,5 × 10³ m = 3 500 m ; 2 500 cm³ = 2 500 ÷ 10³ L = 2,5 L.

Exemples corrigés

1. Un triangle a une aire de 17 cm². On l'agrandit de rapport 2. Quelle est l'aire du triangle agrandi ?

Réponse : 68 cm²

Les longueurs sont multipliées par 2, donc l'aire est multipliée par 2² = 4 : 17 × 4 = 68 cm². L'aire n'est pas simplement multipliée par 2.

2. Après un agrandissement, le volume d'un solide a été multiplié par 216. Par quel nombre les longueurs ont-elles été multipliées ?

Réponse : 6

Les volumes sont multipliés par k³ : k³ = 216, donc k = 6 (car 6 × 6 × 6 = 216).

3. Sur un plan à l'échelle 1/100, quelle longueur (en cm) représente un mur de 3 m ?

Réponse : 3 cm

3 m = 300 cm dans la réalité. À l'échelle 1/100, on divise par 100 : 300 ÷ 100 = 3 cm sur le plan.

S’entraîner

Des exercices neufs à chaque séance, avec correction, sur l’application du 3e (elle fonctionne sans connexion).

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